Kiến thức

Toán trong kinh tế (P3: Tích phân)

04/05/2014

8781

Tích phân bản chất là ngược lại với vi phân. Vi phân thì chia nhỏ $\bigtriangleup s\rightarrow 0$ còn tích phân lại hợp của những cái nhỏ để có cả quãng đường AB.

Tích phân ứng dụng trong việc tính diện tích được tạo bởi diện tích giữa đồ thị y=f(x) với trục hoành từ điểm A tới điểm B.

Ví dụ:

Tại hình (1) muốn tính diện tích hình ABCD ta chỉ cần lấy AB x AD (dài x rộng) vì nó là hình vuông. Bằng cách tính này ta tính được diện tích ABCD = 4.

Có một cách tính khác đó là ta nhận thấy hình ABCD được tạo bởi hàm số y =2 với trục hoành y=0 từ A tới B. $\int_{0}^{2}2dx= 2x + C$ . Trong trường hợp này C=0 -> Diện tích ABCD= 2*2 – 2*0=4

Một số diện tích hình khác ta có thể tính được bằng công thức như diện tích tam giác bằng đáy nhân chiều cao sau đó chia đôi. Muốn tính diện tích hình thang đáy lớn đáy nhỏ ta đem cộng vào, cộng vào nhân với chiều cao, chia đôi lấy nửa thế nào cũng ra.

Với f(x) bất kỳ như (2) hay (3) thì ta không thể tính được diện tích bằng cách thông thường mà phải bằng tích phân.

Ta tính tích phân thông qua tính ngược từ đạo hàm. Ví dụ tích phân của 2x sẽ bằng $x^{2}+c$ . Có chữ “c” đằng sau vì đạo hàm của hằng số bằng 0 nên ta không thể biết được là hàm gốc có hằng số c hay không và nó bằng bao nhiêu.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên tập X nếu F'(x)=f(x) hay dF(x)=f(x)dx.

= > kết quả của tích phân gọi là nguyên hàm; còn tích phân là quá trình thực hiện việc đó.

Trong kinh tế học, ta thường xuyên phải tính diện tích ví dụ như doanh thu, chi phí, thặng dư nhà sản xuất, thặng dư tiêu dùng,…

Thực tế các hàm cầu và hàm cung không phải tuyến tính như trên mà nó là các đường phi tuyến. Việc tính diện tích MP2B theo công thức tính diện tích tam giác là để cho dễ hiểu lý thuyết còn thực tế ta phải tính diện tích bằng tích phân.

Một số công thức nguyên hàm cơ bản:

$\int 1.dx=x+c$ : nguyên hàm của một số sẽ bằng số đó nhân X