Toán trong kinh tế (P2: Đạo hàm và Vi phân)

Chi phí cận biên (MC), lợi nhuận cận biên, doanh thu cận biên (MR),…là các khái niệm chúng ta rất hay gặp trong kinh tế học. Nhờ có khái niệm này chúng ta biết được chi phí, lợi nhuận, doanh thu đạt được khi mà sản lượng (biến số) thay đổi một đơn vị. Để có được các hàm này ta đạo hàm từ hàm tổng chi phí, hàm lợi nhuận và hàm tổng doanh thu.

Chúng ta sẽ đi tìm câu trả lời cho câu hỏi “Tại sao lại có điều đó?” thông qua entry này.

1. Đạo hàm:

Giả sử như có một ô tô di chuyển từ điểm A tới điểm B. Cũng giả sử rằng ta viết được hàm số thể hiện được mối quan hệ giữa quãng đường và thời gian là S=f(t).

Từ phút thứ 3 tới phút thứ 6 chiếc xe đi được quãng đường 1 km (2-1). Tốc độ trung bình là v= 1/3 =0,3333 km/phút

Từ phút thứ 3 tới phút thứ 3,5 chiếc xe đi được quãng đường là s -> tốc độ là . km/phút

Từ phút thứ 3 tới phút thứ 3,000001 chiếc xe đi được quãng đường là s’ -> tốc độ   km/phút

Nếu hiệu số thời gian cứ nhỏ mãi và tiến dần tới 0 thì cuối cùng ta có được tốc độ tức thời của chiếc xe tại thời điểm t. Đó là bản chất của đạo hàm.

Công thức của đạo hàm:

 là gia số của hàm;  là gia số của biến.

 là hiệu số giữa t2 và t1; khi t2 và t1 rất sát nhau như ví dụ trên thì  sẽ vô cùng nhỏ. f(t) có được nhờ thay t tương ứng vào hàm số S=f(t).

Hàm số liên tục

Hàm số f(t) phải là hàm liên tục trong khoảng tính thì mới tính được đạo hàm. Nếu như chiếc xe đi được một quãng rồi nghỉ giữa đường thì ta không thể tính được.

Một hàm số gọi là liên tục trong khoảng [a,b] khi nó liên tục ở mọi điểm trên khoảng đó. Một điểm gọi là liên tục khi 

Ví dụ như ta có hàm số  ; miền xác định của x là  miền giá trị của y là .

Khi x tiến từ  tới điểm x =2 thì y cũng tiến dần từ  tới  y =4 -> hàm số liên tục trái tại điểm x =2.

Khi x tiến từ  tới điểm x =2 thì y cũng tiến dần từ  tới y =4 -> hàm số liên tục phải tại điểm x=2

– > Hàm số y=f(x) liên tục tại x =2 vì nó liên tục phải và trái tại điểm đó.

Ví dụ hàm số  ; miền xác định của hàm là  ;

Khi x tiến tới  thì y tiến tới 0 và khi x tiến tới 0 thì y tiến tới .

Tóm lại mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trong khoảng xác định của nó. Hàm số sơ cấp bao gồm hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm logarit, hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược.

Trong đồ thị bên ta có thể biểu diễn hàm số s(t) dưới dạng đồ thị. Hàm số có thể là (2) có nghĩa là cứ 1 phút đi được 1 km hoặc có thể là (1) khi tốc độ có xu hướng giảm dần khi mà quãng đường đi được phút kế tiếp luôn ít hơn quãng đường đi được phút trước đó, hoặc cũng có thể là (3) khi tốc độ nhanh dần.

Trên đồ thị này thời gian và quãng đường ta lấy mốc là 0 nên trục tung và trục hoành đều không có giá trị âm. Tương tự với sản lượng, mức giá cũng không thể âm được.

——————————————-Ví dụ—————————————————–

Ta có hàm số  ; đạo hàm của nó là y=2x.

Giả như đây là hàm s(t) ở trên cho dễ hiểu thì tại điểm t=2 thì ta có s'(2)=4; điều này có nghĩa rằng ô tô đạt tốc độ 4km/phút tại thời điểm t=2.

Nếu như chiếc xe đi thêm 1 phút nữa thì quãng đường xe đi được thêm là 4 km.

Tại thời điểm t= 4 thì s'(t)=8; có nghĩa rằng ô tô đạt tốc độ 8km/phút ở phút thứ 4. Nếu như xe đi thêm 1 phút nữa thì quãng đường đi được sẽ là 8km

Quay trở lại hàm chi phí cận biên thể hiện mối quan hệ giữa sản lượng và chi phí MC = f(Q);

Tại thời điểm sản lượng =4; nếu như nhà máy quyết định sản xuất thêm 1 đơn vị sản phẩm nữa thì chi phí sẽ tăng thêm là f(4); nếu như nhà máy quyết định giảm sản xuất đi 1 đơn vị sản phẩm thì chi phí sẽ giảm đi là f(4).

Tóm lại đạo hàm bất cứ hàm kinh tế nào ta cũng sẽ có hàm giá trị cận biên của hàm số đó; nó thể hiện việc khi đối số biến thiên 1 đơn vị thì biến phụ thuộc thay đổi bao nhiêu đơn vị.

Đạo hàm cũng sử dụng để khảo sát hàm số. Trong ví dụ trên y’=2x = 0 khi x =0; thay x=0 vào hàm  ta có y = 0 => (0,0) là điểm cực trị.

y”= 2 > 0 nên đồ thị lồi -> điểm (0,0) là điểm cực tiểu. Chú ý lồi hay lõm là so với gốc tọa độ chứ không phải ta thấy nó vòng lên như quả núi thì gọi là lồi.

2. Vi phân

Vi phân được tính theo công thức df(x)=f'(x)dx

Hàm số gọi là khả vi tại điểm  khi và chỉ khi hàm số f(x) có đạo hàm tại  và khi đó:

Bổ đề Fermat :

Giả sử hàm số y=f(x) xác định trong khoảng (a,b) và đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm c thuộc (a,b). Khi đó nếu y=f(x) có đạo hàm thì f'(c)=0.

Định lý Rolle:

Giả sử hàm y = f(x) xác định, liên tục trên khoảng [a,b] và khả vi trên (a,b) thì tồn tại điểm c thuộc (a,b) sao cho f'(c)=0 . Hiểu đơn giản là đồ thị f’ luôn cắt trục hoành tại diểm c.

Định lý Lagrange: 

Giả sử hàm y = f(x) xác định, liên tục trên khoảng [a,b] và khả vi trên (a,b) thì tồn tại điểm c thuộc (a,b) sao cho f(b) – f(a) = f'(c)(b-a)

-> chúng ta có thể tính đạo hàm một hàm số thỏa mãn giả thiết thông qua định lý Lagrange:

Định lý Cauchy:

Nếu hàm số f(x), g(x) xác định, liên tục trên  [a,b] và khả vi trên (a,b) và  thì tồn tại điểm c thuộc (a,b) sao cho:

Bảng đạo hàm:

Comments

comments