Toán trong kinh tế (P1: Hàm số)

0
754

Trong một loạt entry về Kinh tế học chúng ta thấy hầu hết các khái niệm, các định nghĩa đều có thể biểu diễn bằng toán học (đồ thị, bảng biểu, hàm số). Có thể là hàm 1 biến như công thức tính doanh thu TR= P.Q ; có thể làm hàm nhiều biến như công thức tính sản lượng quốc dân Y = C + I + G + EX – MX.

Một lọat entry sắp tới giúp ta có cái nhìn các vấn đề kinh tế dưới góc độ toán học.

1. Ý nghĩa của các thành phần trong một hàm số y = f(x)

toan kinh te-bien phu thuoc 3

Một phương trình y= ax + b bao gồm:

– Các biến nội sinh (biến phụ thuộc): là các biến mà giá trị của nó phụ thuộc vào các biến số khác có trong mô hình. Trong công thức thì y là biến nội sinh.

Trên đồ thị khi điểm A di chuyển tới điểm B trên đồ thị thì x cũng di chuyển trong khoảng (Xa,Xb) và Y cũng di chuyển tương ứng trong khoảng (Ya,Yb).

toan kinh te p 1- he so goc

– “a” là tham số thể hiện độ dốc của đường thẳng trong hàm trên. Nếu a là số dương thì là đường thẳng dốc lên, nếu a âm thì là đường thằng dốc xuống.

Trên đồ thị ta sẽ thấy là khi tham số a thay đổi thì đồ thị quay quanh trục (0,0), đây chính là điểm (0,b) trong hàm y= ax + b

Khi a nằm trong khoảng (0,1) thì nó xoay từ đường y = x tới đường y=0.

Khi a nằm trong khoảng từ dương vô cùng tới 1 thì nó xoay lên cho tới khi trùng với đường x=0.

—————————————————-

toan kinh te p1-bien ngoai sinh

Các biến ngoại sinh (biến độc lập):  là các biến mà giá trị của nó không phụ thuộc vào các giá trị các biến khác có trong mô hình. Trong công thức y=ax + b thì b là biến ngoại sinh.

Khi b thay đổi nó làm dịch chuyển đồ thị sang phải hoặc sang trái. Nếu giảm là dịch phải và nếu tăng là dịch trái.

Khi hàm cung P = b + a.Q dịch phải có nghĩa là b giảm và dịch trái có nghĩa là b tăng. Điều này có nghĩa là nhà cung cấp có thể cung cấp ra một sản lượng cao hơn mà giá vẫn không đổi.

2.Nguyên tắc khảo sát hàm số và vẽ đồ thị

Hàm số được ký hiệu là y=f(x) trong đó x gọi là là biến số  và Y là giá trị hàm số. Tập hợp các giá trị x gọi là miền xác định, tập hợp các giá trị của y tương ứng gọi là miền giá trị.

Một hàm số có thể được biểu diễn bằng đồ thị thông qua phương pháp Khảo sát độ thị:

toan kinh te P1-ks ham soThông thường với một hàm tuyến tính bậc nhất kiểu y = ax + b thì ta chỉ cần tìm hai điểm (x,y) và kẻ đường thẳng qua hai điểm đó là xong. Nhưng với hàm bậc cao thì ta phải khảo sát.

Cho đạo hàm f'(x) =0 ta sẽ tìm được các điểm cực trị, là điểm mà tại đó đồ thị chuyển hướng từ đồng biến sang nghịch biến hoặc từ nghịch biến sang đồng biến.

Tính đạo hàm bậc 2 f”(x)=0 ta sẽ tìm được các điểm uốn, gọi là điểm tới hạn hay điểm dừng.

(Vi phân, tích phân sẽ giải thích sau)

3. Hàm lũy thừa y=ax^{n} + b ( x>0)

khi n=1 ta có y = ax + b. Nếu b=0 ta có đường thẳng qua gốc tọa độ; nếu b là khác không thì đồ thị sẽ dịch phải hoặc dịch trái tương ứng.

toan kinh te p1- A

Chúng ta thấy là với hàm số y=ax^{n} + b trong đó n là số chẵn thì đồ thị sẽ đối xứng nhau thông qua trục tung và điểm cực trị luôn là tọa độc gốc (0,b) vì y'=anx^{n-1} =0 luôn có nghiệm là x=0 tương ứng với y = b

n càng cao thì đồ thị càng dốc lên vì khi x = 2 thì:

y=x^{2}=4

y=x^{4} = 16

toan kinh te p1-b

Nếu y=ax^{n} + b trong đó n là số lẻ thì y sẽ mang giá trị âm hoặc dương tương ứng với giá trị âm hay dương của x. Vì vậy đồ thị sẽ đối xứng với nhau thông qua đường thẳng y= – x.

Nếu n=1 thì hàm y=x có quan hệ 1:1; có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y tăng tương ứng 1 đơn vị

Nếu 0<n<1 thì hàm y=x^{n} tuân theo quy luật giảm dần; có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y tăng < 1 đơn vị

Nếu n > 1 thì hàm y=x^{n} tuân theo quy luật tăng dần; có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y tăng hơn 1 đơn vị.

Hàm sản xuất Cobb-Douglas

Nguyên tắc này được áp dụng cho hàm sản xuất có dạng Cobb-Douglas Q=aK^{\alpha }L^{\beta }

Một hàm sản xuất được đánh giá là có hiệu quả về mặt quy mô hay không nếu như tăng m lần yếu tố K và L thì sản lượng tăng hơn m lần tương ứng. Hay Q(mK,ML) > mQ(K,L) ?

Nếu  \alpha +\beta < 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô vì m^{\alpha +\beta }< m.

Nếu \alpha +\beta >1 thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô vì m^{\alpha +\beta } > m

Nếu \alpha +\beta = 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo quy mô vì m^{\alpha +\beta }=m

4. Hàm lũy thừa  y=\frac{1}{x^{n}} = x^{-n} với n > 0

Hàm này thực tế giống với hàm trên nhưng với mũ là số âm.

Giả sử với hàm y=\frac{1}{x} = x^{-1} => y'=-x^{-2} ; y’= 0 khi x=\infty vì vậy đường này sẽ tiệm cận với trục tung và trục hoành về hai phía.

Nếu n là số chẵn ta sẽ có hai nhánh (1) và (2) sẽ đối xứng với nhau qua trục tung và đều nằm trên trục hoành.

Nếu n là số lẻ thì ta sẽ có hai nhánh (1) và (2) đối xứng với nhau qua đường thẳng y=-x.

toan kinh te p1-c

Ta thấy một đặc điểm là đồ thị luôn qua điểm (1,1); nếu như tử số là a mà không phải là 1 thì ta sẽ có tọa độ luôn luôn đi qua là (1,a). Đồ thị có quan hệ nghịch biến nên số mũ n càng lớn thì y sẽ càng nhỏ nhanh hơn vì vậy tiệm cận nhanh hơn.

5. Hàm mũ y=a^{x}

Hai trường hợp:

Nếu 0<a<1 : x càng tăng thì y càng giảm; quan hệ nghịch biến

Nếu  a>1 : x càng tăng thì y càng tăng; quan hệ đồng biến.

toan kinh te p1-d1

Đồ thị luôn đi qua điểm (0,1) vì khi x=0 thì với mọi a, y =1.

  • Comments

    comments